已知三角形ABC的内角A B C的对边abc 向量m=(-cosA/2,sinA/2) n=(cosA/2,sinA/2)

题目

已知三角形ABC的内角A B C的对边abc 向量m=(-cosA/2,sinA/2) n=(cosA/2,sinA/2)
且满足m*n=1/2
若√2a=√3b  求∠B
2.若a=2√3 三角形ABC的面积S=√3 求三角形的周长

答案

第一个问题：
∵向量m＝（－cos（A/2）,sin（A/2））、向量n＝（cos（A/2）,sin（A/2））,
∴向量m·向量n＝－［cos（A/2）］^2＋［sin（A/2］^2＝－cosA＝1/2,∴A＝120°,
∴sinA＝√3/2.
∵√2a＝√3b,∴结合正弦定理,容易得出：√2sinA＝√3sinB,∴sinB＝√2/2,∴B＝45°.
第二个问题：
∵S(△ABC)＝（1/2）bcsinA＝（√3/4）bc＝√3,∴bc＝4.
由余弦定理,有：b^2＋c^2－2bccosA＝a^2＝12,∴b^2＋c^2＋bc＝12,
∴（b＋c）^2＝12＋bc＝12＋4＝16,∴b＋c＝4,∴a＋b＋c＝4＋2√3.
∴△ABC的周长为（4＋2√3）.