已知ab是两个非零向量,证明当b与a+λ(λ属于R)垂直时,a+λb的模取得最小值

题目

已知ab是两个非零向量,证明当b与a+λ(λ属于R)垂直时,a+λb的模取得最小值

答案

（a+λb）²＝|a|²+2λ|a||b|cos＜a,b＞+λ²|b|²
＝|b|²[λ²+2λ|a|cosα/|b|+[|a|cosα/|b|]²]+|a|²（1－cos²α） [α＝＜a,b＞]
＝|b|²[λ+|a|cosα/|b|]²+|a|²（1－cos²α）
∴当λ＝-|a|cosα/|b|]时.a+λb的模取得最小值.
此时b·（a+λb）＝b·a+[-|a|cosα/|b|]|b|²＝b·a-a·b＝0.b⊥（a+λb）
反过来,当b⊥（a+λb）,也有a+λb的模取得最小值.[楼主验证之]