f(x)=3√(x^2 (1-x^2))罗尔定理满足区间为什么是(0,1)而不是(-1,1)

题目

f(x)=3√(x^2 (1-x^2))罗尔定理满足区间为什么是(0,1)而不是(-1,1)

答案

这个函数在 [0,1] 上连续,在（0,1）上可导,因此满足罗尔定理.
如果把区间扩大到 [-1,1] 就不满足定理条件了.
这是由于,虽然函数在 [-1,1] 上连续,但函数在 x = 0 不可导.
事实上,左导数 = lim(x→0-) 3√[x^2(1-x^2)] / x = lim(x→0-) -3√(1-x^2) = -3 ,
右导数 = lim(x→0+) 3√(1-x^2) = 3 .