如图，矩形ABCD，∠DAB的平分线交DC于点G，O是AG的中点，⊙O与DG相切，切点为E， （1）求证：E点是DG的中点； （2）求证：AD是⊙O的切线．

题目

如图，矩形ABCD，∠DAB的平分线交DC于点G，O是AG的中点，⊙O与DG相切，切点为E，

（1）求证：E点是DG的中点；
（2）求证：AD是⊙O的切线．

答案

证明：（1）连结OE，如图，
∵⊙O与DG相切，切点为E，
∴OE⊥DC，
∵∠D=90°，
∴OE∥AD，
∵O是AG的中点，
∴OE为△ADG的中位线，
∴E点是DG的中点；
（2）作OH⊥AD于H，如图，
则OH为△ADG的中位线，
∴OH=

1

2

DG，
而OE=

1

2

AD，
∵AG平分∠DAB，
∴∠DAG=45°，
∴△ADG为等腰直角三角形，
∴AD=GD，
∴OH=OE，
∴AD是⊙O的切线．