函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x+1)=f(1-x)成立,若当x∈[0,1]时,f(x)=loga(x+1),a>1
题目
函数f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意x∈R都有f(x+1)=f(1-x)成立,若当x∈[0,1]时,f(x)=loga(x+1),a>1
(1)求f(10)的值
(2)求x∈[2011,2013]时,函数f(x)的表达式
(3)若函数f(x)的最大值为1/2,解关于x的不等式f(x)>1/4
求第三问啊= =
答案
函数f(x)是定义在R上的奇函数 f(-x)=f(x)
f(x+4)=f[x+3)+1]=f[1-3-x]=-f(x+2)=-f[(x+1)+1]=-[f(1-1-x)=-f(-x)=f(x)
∴f(x)是周期为4的函数
⑴f(2)=-f(-2)=-f(-2+4)=-f(2) ∴f(2)=0
f(10)=f(2×4+2)=f(2)=0
⑵2011=503×4-1 2013=503×4+1
∴x∈[2011,2012] f(x)=-loga [1-(x-2012)]=-loga (2013-x)
x∈[2012,2013] f(x)=loga [1+(x-2012)]=loga (x-2011)
⑶∵f(x+1)=f(1-x)∴f(x)关于直线x=1对称
∴f(x)在[0,1]上是增函数[1,2]是减函数
∵函数f(x)是定义在R上的奇函数
∴f(x)在[-1,0]上是增函数[-2,-1]是减函数
f(x)在一个周期[-2,2]内在X=1处取最大值X=-1最小值
f(1)=1/2 loga 2=1/2 a=4
在一个周期内[-2,2] 解 f(x)>1/4
∴√2-1<x<3-√2
∵f(x)是周期为4的函数
∴f(x)>1/4 的解 (4k+√2-1,4k+3-√2) k∈Z
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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