设a,b,c,d,m,n都是正数,P=根号下ab+根号下cd,Q=根号下ma+nc乘根号下b/m+d/n,试比较P与Q的大小

题目

设a,b,c,d,m,n都是正数,P=根号下ab+根号下cd,Q=根号下ma+nc乘根号下b/m+d/n,试比较P与Q的大小

答案

P≤Q
由于P和Q都是正数,所以可以比较一下P^2和Q^2的大小.
P^2=ab+cd+2*根号下abcd
Q^2=ab+cd+mad/n+nbc/m
P^2-Q^2=2*根号下abcd-(mad/n+nbc/m)
由基本不等式：2*根号下ab ≤ a+b
2根号下mad/n*ncb/m≤mad/n+ncb/m
2*根号下abcd≤mad/n+nbc/m
得P^2-Q^2≤0
所以.P≤Q