已知点F(1,0)直线l:x=-1.P为平面上一动点,过P作l的垂线.垂足为点Q,且向量PQ*QF=FP*FQ

题目

已知点F(1,0)直线l:x=-1.P为平面上一动点,过P作l的垂线.垂足为点Q,且向量PQ*QF=FP*FQ
①求动点P的轨迹方程C
②过点F的直线交轨迹C于A,B两点,交直线l于点M
(1)已知向量MA=μ1向量AF,向量MB=μ2向量BF,求μ1+μ2的值
(2)求向量模MA*向量模MB的最小值

答案

①设P(X,Y)
Q(-1,Y)
PQ=(-1-X,0)
QF=(2,-Y)
FP=(X-1,Y)
FQ=(2,-Y)
PQ*QF=FP*FQ
得：-2-2X+0=2X-2-y^2
所以P的方程为y^2=4X
2.（1）由题可只P,A,B,M四点共线
设点A(x1,y1)B(x2,y2)M(-1,y0)
MA=(x1+1,y1-y0)
AF=(1-x1,-y1)
MB=(x2+1,y2-y0)
BF=(1-x2,-y2)
x1+1=μ1(1-x1) y1-y0=-μ1y1
x2+1=μ2(1-x2) y2-y0=-μ2y2
得μ1=μ2