如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE； （2）求证：AE⊥BE．

题目

如图所示，四边形ABCD为矩形，BC⊥平面ABE，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE．

（1）设点M为线段AB的中点，点N为线段CE的中点．求证：MN∥平面DAE；
（2）求证：AE⊥BE．

答案

证明：（1）取DE的中点P，连接PA，PN，
因为点N为线段CE的中点，
所以PN∥DC，且PN=

1

2

DC，
又四边形ABCD是矩形，点M为线段AB的中点，
所以AM∥DC，且AM=

1

2

DC，
所以PN∥AM，且PN=AM，
故四边形AMNP是平行四边形，
所以MN∥AP．
而AP⊂平面DAE，MN⊄平面DAE，
所以MN∥平面DAE．
（2）因为BC⊥平面ABE，AE⊂平面ABE，
所以AE⊥BC，
又BF⊥平面ACE，AE⊂平面ACE，
所以AE⊥BF，
又BF∩BC=B，
所以AE⊥平面BCE．
又BE⊂平面BCE，
所以AE⊥BE．