如图所示,四边形ABCD为矩形,BC⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE. (1)设点M为线段AB的中点,点N为线段CE的中点.求证:MN∥平面DAE; (2)求证:AE⊥BE.

如图所示,四边形ABCD为矩形,BC⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE. (1)设点M为线段AB的中点,点N为线段CE的中点.求证:MN∥平面DAE; (2)求证:AE⊥BE.

题目
如图所示,四边形ABCD为矩形,BC⊥平面ABE,F为CE上的点,且BF⊥平面ACE.

(1)设点M为线段AB的中点,点N为线段CE的中点.求证:MN∥平面DAE;
(2)求证:AE⊥BE.
答案
证明:(1)取DE的中点P,连接PA,PN,
因为点N为线段CE的中点,
所以PN∥DC,且PN=
1
2
DC,
又四边形ABCD是矩形,点M为线段AB的中点,
所以AM∥DC,且AM=
1
2
DC,
所以PN∥AM,且PN=AM,
故四边形AMNP是平行四边形,
所以MN∥AP.
而AP⊂平面DAE,MN⊄平面DAE,
所以MN∥平面DAE.
(2)因为BC⊥平面ABE,AE⊂平面ABE,
所以AE⊥BC,
又BF⊥平面ACE,AE⊂平面ACE,
所以AE⊥BF,
又BF∩BC=B,
所以AE⊥平面BCE.
又BE⊂平面BCE,
所以AE⊥BE.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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