(2008•嘉定区二模)过双曲线x2−y23=1的左焦点F作直线l交双曲线于不同的两点P与Q,则满足|PQ|=6的直线l的条数有(  ) A.1 B.2 C.3 D.4

(2008•嘉定区二模)过双曲线x2−y23=1的左焦点F作直线l交双曲线于不同的两点P与Q,则满足|PQ|=6的直线l的条数有(  ) A.1 B.2 C.3 D.4

题目
(2008•嘉定区二模)过双曲线x2
y2
3
=1
的左焦点F作直线l交双曲线于不同的两点P与Q,则满足|PQ|=6的直线l的条数有(  )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
答案
①当直线l与双曲线交于一支时
若直线的斜率不存在时,直线方程为x=-2与双曲线的交点P(-2,3)Q(-2,-3),此时PQ=6满足条件
若直线的斜率存在时PQ>6,不满足条件
②当直线与双曲线交于两支取、时可设直线方程为y=k(x+2)
联立方程
y=k(x+2)
x2
y2
3
=1
整理可得(3-k2)x2-4k2x-(4k2+3)=0
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则可得x1+x2
4k2
3−k2
x1x2= −
4k2+3
3−k2

PQ=
(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2
=
(1+k2)[
16k4
(3−k2) 2
+
16k2+12
3−k2
]
=6
解可得,k=±1
故满足条件的直线有3条
故选:C
①当直线l与双曲线交于一支时,先求直线的斜率不存在时PQ=6是否满足条件,从而可判断直线的斜率存在时,PQ=6的直线是否存在
②当直线与双曲线交于两支取、时可设直线方程为y=k(x+2).联立方程,利用方程的根与系数的关系及弦长公式PQ=
(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2
可求k,进而可判断满足条件的直线的个数

直线与圆锥曲线的关系.

本题主要考查了直线与双曲线的相交求弦长问题,要注意弦长公式PQ=

(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2
与方程的根与系数的关系的结合应用.

举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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