（2008•嘉定区二模）过双曲线x2−y23＝1的左焦点F作直线l交双曲线于不同的两点P与Q，则满足|PQ|=6的直线l的条数有（　　） A.1 B.2 C.3 D.4

题目

（2008•嘉定区二模）过双曲线x2−

y2

3

＝1的左焦点F作直线l交双曲线于不同的两点P与Q，则满足|PQ|=6的直线l的条数有（　　）
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4

答案

①当直线l与双曲线交于一支时
若直线的斜率不存在时，直线方程为x=-2与双曲线的交点P（-2，3）Q（-2，-3），此时PQ=6满足条件
若直线的斜率存在时PQ＞6，不满足条件
②当直线与双曲线交于两支取、时可设直线方程为y=k（x+2）
联立方程

y＝k(x+2) x2− y2 3 ＝1

整理可得（3-k²）x²-4k²x-（4k²+3）=0
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），则可得x1+x2＝

4k2

3−k2

x1x2＝ −

4k2+3

3−k2

个PQ＝

(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2

=

(1+k2)[ 16k4 (3−k2) 2 + 16k2+12 3−k2

]=6
解可得，k=±1
故满足条件的直线有3条
故选：C

①当直线l与双曲线交于一支时，先求直线的斜率不存在时PQ=6是否满足条件，从而可判断直线的斜率存在时，PQ=6的直线是否存在
②当直线与双曲线交于两支取、时可设直线方程为y=k（x+2）．联立方程，利用方程的根与系数的关系及弦长公式PQ＝

(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2

可求k，进而可判断满足条件的直线的个数

本题考点：直线与圆锥曲线的关系．

考点点评：本题主要考查了直线与双曲线的相交求弦长问题，要注意弦长公式PQ＝

(1+k2)[(x1+x2)2−4x1x2

与方程的根与系数的关系的结合应用．