已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC，求证：DG=EG．

题目

已知△ABC中，CD⊥AB于D，过D作DE⊥AC，F为BC中点，过F作FG⊥DC，求证：DG=EG．

答案

证明：作FQ⊥BD于Q，如图，
∴∠FQB=90°，
∵DE⊥AC，
∴∠DEC=90°
∵FG⊥CD CD⊥BD，
∴BD∥FG，∠BDC=∠FGC=90°，
∴四边形DGFQ为矩形，
∴QF=DG，
∴∠B=∠GFC
∵F为BC中点
∴BF=FC，
∵在Rt△BQF与Rt△FGC中，

∠BQF＝∠FGC ∠B＝∠GFC BF＝FC

∴△BQF≌△FGC（AAS），
∴QF=GC，
∵QF=DG，
∴DG=GC，
在Rt△DEC中，
∵G为DC中点，
∴DG=EG．

作FQ⊥BD于Q，在Rt△DEC中，若能够证明G为DC中点，则有DG=EG，因此此题转化为证明DG与GC相等的问题，易得QF=DG，然后利用△BQF≌△FGC证出QF=GC．

本题考点：全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线．

考点点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：判断三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应角相等，对应边相等．也考查了直角三角形斜边上的中线性质．