设向量组α1,α2,α3线性无关,证明：向量组β1=α1+2α2＋α3,β2=α1＋α2＋α3,β3=α1+3α2＋4α3

题目

设向量组α1,α2,α3线性无关,证明：向量组β1=α1+2α2＋α3,β2=α1＋α2＋α3,β3=α1+3α2＋4α3

答案

证法1:设 k1β1+k2β2+k3β3=0
则 k1(α1+2α2+α3)+k2(α1+α2+α3)+k3(α1+3α2+4α3)=0
即有 (k1+k2+k3)α1+(2k1+k2+3k3)α2+(k1+k2+4k3)α3=0
因为 α1,α2,α3 线性无关
所以
k1+k2+k3 = 0
2k1+k2+3k3 = 0
k1+k2+4k3 = 0
因为系数行列式
1 1 1
2 1 3
1 1 4
= -3 ≠ 0
所以方程组只有零解:k1=k2=k3=0
所以 β1,β2,β3 线性无关.
另证:由已知
(β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)P
其中P=
1 1 1
2 1 3
1 1 4
且由|P|= -3 ≠ 0 知P可逆.
因为α1,α2,α3线性无关
所以 r(β1,β2,β3)=r(P)=3.[参]
所以 β1,β2,β3 线性无关.