设A为n阶方阵,α1,α2,...,αn为线性无关的n个n维列向量.证明:R(A)=n﹤=﹥ Aα1,Aα2,...,Aαn线性无关

题目

设A为n阶方阵,α1,α2,...,αn为线性无关的n个n维列向量.证明:R(A)=n﹤=﹥ Aα1,Aα2,...,Aαn线性无关
【向量的秩】

答案

因为 (Aα1,Aα2,...,Aαn) = A(α1,α2,...,αn)当A可逆时,r(Aα1,Aα2,...,Aαn) = r(α1,α2,...,αn) = n.所以 Aα1,Aα2,...,Aαn线性无关.反之,Aα1,Aα2,...,Aαn线性无关时所以 (Aα1,Aα2,...,Aαn) 可逆所...