已知x²+y²+x-6y+3=0上有两点PQ,满足关于直线y=kx+4对称,且向量OP⊥向量OQ(o为坐标原点)求PQ

已知x²+y²+x-6y+3=0上有两点PQ,满足关于直线y=kx+4对称,且向量OP⊥向量OQ(o为坐标原点)求PQ

题目
已知x²+y²+x-6y+3=0上有两点PQ,满足关于直线y=kx+4对称,且向量OP⊥向量OQ(o为坐标原点)求PQ
答案
x²+y²+x-6y+3=0是圆的方程 x²+y²+x-6y+3=0化简得x²+x+1/4+y²-6y+9=6+1/4=25/4
即(x+1/2)² +(y-3)² =(5/2)² 圆心为(-1/2,3),半径为5/2
因为圆上有两点PQ,满足关于直线y=kx+4对称,所以直线y=kx+4为直线PQ的中垂线,直线PQ的中垂线必然通过圆心.即点(-1/2,3)在直线y=kx+4上
3=(-1/2)k+4 ,k=2
直线y=kx+4为直线PQ的中垂线,直线y=kx+4斜率k=2所以直线PQ斜率为-1/2,设为y=(-1/2)(x-b)
联立{y=(-1/2)(x-b),x²+y²+x-6y+3=0
得x²+x+1/4+[(-1/2)(x-b)-3]² =25/4
化简5x²-(6-2b)x+b²-2b+12=0
然后用韦达定理得出x1x2=(b²-2b+12)/5,x1+x2=(6-2b) /5
因为向量OP⊥向量OQ,若设向量P=(x1,y1),向量Q=(x2,y2),则有x1x2+y1y2=0
即x1x2+(-1/2)(x1-b)(-1/2)(x2-b)=0
(5/4)x1x2+(b/2)(x1+x2)+b²/4=0
代入x1x2=(b²-2b+12)/5,x1+x2=(6-2b) /5
得一个只与b有关的方程.(b²-2b+12)/4+(3b-b²)/5+b²/4=0
化简得3b²-b+30=0
解出b的值.b=10/3或b=-3
把b的值代入PQ:y=(-1/2)(x-b).即求出PQ方程.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
奥巴马演讲不用看稿子.为什么中国领导演讲要看?
想找英语初三上学期的首字母填空练习……
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