如果n阶矩阵A中的所有元素都是1,求出A的所有特征值

题目

如果n阶矩阵A中的所有元素都是1,求出A的所有特征值

答案

n阶矩阵A中的所有元素都是1,则其秩为：r(A)=1
所以,其必有n-1个特征值为0.
而根据特征多项式(对于任意的矩阵）
f(λ)=λ^n-(a11+a22+a33+..ann）λ^(n-1)+.
由此可得：
λ1+λ2+...+λn=a11+a22+a33+..ann
考虑A矩阵
a11+a22+a33+..ann=a1b1+a2b2+...anbn
A中的所有元素都是1
a1b1+a2b2+...anbn
而λ1,λ2,...λn-1=0
则可知有λn=n