已知函数f（x）=|lgx|.若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（　　） A.（1，+∞） B.[1，+∞） C.（2，+∞） D.[2，+∞）

题目

已知函数f（x）=|lgx|.若a≠b且，f（a）=f（b），则a+b的取值范围是（　　）
A. （1，+∞）
B. [1，+∞）
C. （2，+∞）
D. [2，+∞）

答案

（方法一）因为f（a）=f（b），所以|lga|=|lgb|，
不妨设0＜a＜b，则0＜a＜1＜b，∴lga=-lgb，lga+lgb=0
∴lg（ab）=0
∴ab=1，
又a＞0，b＞0，且a≠b
∴（a+b）²＞4ab=4
∴a+b＞2
故选C．
（方法二）由对数的定义域，设0＜a＜b，且f（a）=f（b），得：

0＜a＜1 1＜b ab＝1

，
整理得线性规划表达式为：

0＜x＜1 1＜y xy＝1

，
因此问题转化为求z=x+y的取值范围问题，则z=x+y⇒y=-x+z，即求函数的截距最值．
根据导数定义，y＝

1

x

⇒y′＝−

1

x2

＜−1⇒函数图象过点（1，1）时z有最小为2（因为是开区域，所以取不到2），
∴a+b的取值范围是（2，+∞）．
故选C．

由已知条件a≠b，不妨令a＜b，又y=lgx是一个增函数，且f（a）=f（b），故可得，0＜a＜1＜b，则 lga=-lgb，再化简整理即可求解；或采用线性规划问题处理也可以．

本题考点：函数的值域；函数的图象与图象变化；对数函数的单调性与特殊点．

考点点评：本小题主要考查对数函数的性质、函数的单调性、函数的值域，考生在做本小题时极易忽视a的取值范围，根据条件a＞0，b＞0，且a≠b可以利用重要不等式（a²+b²≥2ab，当且仅当a=b时取等号）列出关系式（a+b）²＞4ab=4，进而解决问题．