数列{An}满足An=3An-1+3^n-1(n≥2),其中A4=365.求证数列{an-3^n}不是等差数列

题目

数列{An}满足An=3An-1+3^n-1(n≥2),其中A4=365.求证数列{an-3^n}不是等差数列

答案

An=3An-1+3^(n-1)
两边同除以3^(n-1)得
3*An/3^n=3An-1/(3^n-1)+1
An/3^n=An-1/(3^n-1)+1/3
则An/3^n为等差数列,公差为1/3
则An/3^n=A1/3+（n-1）/3
则An=[A1/3+（n-1）/3]*3^n
则A4=[A1/3+（4-1）/3]*3^4=365,解得A1=284/27
则An=[284/81+（n-1）/3]*3^n=(n+257/27)*3^(n-1)
则An-3^n=(n+257/27)*3^(n-1)-3^n=(n+176/27)*3^(n-1)
则An-3^n-[A（n-1)-3^(n-1)]
=(n+176/27)*3^(n-1)-(n-1+176/27)*3^(n-2)
=(2n+379/27)*3^(n-2)不为常数,而是关于n的函数,
因此An-3^n不是等差数列.