如图,在△ABC中,AC=40,BC=30,AB=50.矩形DEFG的边EF在AB上,顶点D、G分别在AC、BC上.设EF=x. (1)用含x的代数式表示DE的长; (2)当x取什么值时,矩形DEFG
题目
如图,在△ABC中,AC=40,BC=30,AB=50.矩形DEFG的边EF在AB上,顶点D、G分别在AC、BC上.设EF=x.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/63d0f703918fa0ec787dedbc259759ee3c6ddbcd.jpg)
(1)用含x的代数式表示DE的长;
(2)当x取什么值时,矩形DEFG的面积最大?最大面积是多少?
答案
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/09fa513d269759ee49eae97ab1fb43166c22dfcd.jpg)
(1)如图,∵AC=40,BC=30,AB=50,
∴AC
2+BC
2=AB
2,
∴△ABC是直角三角形.
作CH⊥AB于H,交DG于T,
∴AB.CH=AC.BC,
∴50CH=30×40,
∴CH=24.
∵四边形DEFG是矩形,
∴DG∥EF,TH=DE,
∴△CDG∽△CAB,
∴
=,
∴
=,
∴DE=24-
x;
(2)设矩形的面积为S,
S=x(24-
x),
=-
x
2+24x,
=-
(x
2-50x),
=-
(x-25)
2+300,
故当x=25时,矩形的最大面积为300.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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