已知平面向量OA,OB,OC满足:OA=OB=OC 向量OA⊥OB,向量OA=xOC+yOB,则x+y取值范围?

题目

已知平面向量OA,OB,OC满足:OA=OB=OC 向量OA⊥OB,向量OA=xOC+yOB,则x+y取值范围?

答案

因为OA=OB=OC,向量OA⊥OB
所以建立直角坐标系,设O(0,0),A(a,0),B(0,a),C(acosθ,asinθ)（a>0）
所以向量OA=(a,0),向量OB=(0,a),向量OC=(acosθ,asinθ)
因为向量OA=xOC+yOB
所以a=xacosθ ①
0=xasinθ+ya ②
由①知x=1/cosθ（cosθ≠0）
由②知y=-xsinθ=-tanθ
所以x+y=1/cosθ-tanθ=(1-sinθ)/cosθ=(1-sinθ)/[0-(-cosθ)]
即可以将它理解为点(0,1)和点(-cosθ,sinθ)之间直线的斜率
点(-cosθ,sinθ)在圆x²+y²=1上,画图可知斜率∈(-∞,0)∪(0,+∞)
因此x+y的取值范围为(-∞,0)∪(0,+∞)