点P为三角形ABC的内心,延长AP交三角形ABC的外接圆于D,在AC的延长线上有一点E,满足AD^2=AB*AE

题目

点P为三角形ABC的内心,延长AP交三角形ABC的外接圆于D,在AC的延长线上有一点E,满足AD^2=AB*AE
求证：DE是圆O的切线

答案

设外接圆圆心为0,连接OD,连结DC
∵P为内心
∴AD平分∠BAC
∴BD＝DC
∴OD垂直BC
又∵∠BAD＝∠DAE,AD^2=AB*AE即AD/AE＝AB/AD
∴ΔBAD相似于ΔDAE
∴∠ABD＝∠ADE
即∠ABC＋∠CBD＝∠ADC＋∠CDE
又∵∠ABC＝∠ADC
∴∠CBD＝∠CDE
∵BD＝DC（已证）∴∠CBD＝∠BCD
∴∠CDE＝∠BCD
∴BC//DE
又∵0D垂直BC
∴0D垂直DE
∴DE为圆O的切线.