在锐角三角形ABC中,a>b>c.以其中一边做矩形的边另一个顶点在对边上〔就是外接矩形〕.求证以c边为边的外接矩形周长最小.

题目

在锐角三角形ABC中,a>b>c.以其中一边做矩形的边另一个顶点在对边上〔就是外接矩形〕.求证以c边为边的外接矩形周长最小.

答案

锐角三角形ABC的面积=1/2bc(sinA)=1/2a*h1,h1为边a上的高,所以以边a为外接矩形一边的周长为L1=2a+2h1=2a+2bc(sinA)/a
同理以边b为外接矩形一边的周长为L2=2b+2h2=2b+2ac(sinB)/b
以边c为外接矩形一边的周长为L3=2c+2h3=2c+2ab(sinC)/c
由于a/sinA=b/sinB=c/sinC=2r(r为外接圆半径)；
既然证明以c边为边的外接矩形周长最小,只需证明L1-L3>0 L2-L3>0即可
L1-L3=2(a-c)+2bc(sinA)/a-2ab(sinC)/c=2(a-c)+bc/r-ab/r=2(a-c)+b/r(c-a)=
(a-c)(2-b/r)=(a-c)(2-2sinB)>0,所以L1-L3>0,同理可证L2-L3>0,
所以以c边为边的外接矩形周长最小