在△ABC中,∠C＝90°,P为三角形内的一点,且S△PAB＝S△PBC=S△PCA,求证│PA│^2+│PB│^2=5│PC│^2

题目

在△ABC中,∠C＝90°,P为三角形内的一点,且S△PAB＝S△PBC=S△PCA,求证│PA│^2+│PB│^2=5│PC│^2
把△ABC放入直角坐标系第一象限,并使C点和原点重合,CA和x轴重合,CB与y轴重合.则C点坐标为(0,0)；A点坐标为(Xa,0),且Xa=|CA|；B点坐标为(0,Yb),且Yb=|CB|.
由S△PAB＝S△PBC=S△PCA＝S△ABC/3,知,
【P点坐标为(Xa/3,Yb/3)】
由两点距离公式,有
│PA│^2＝(Xa/3-Xa)^2+(Yb/3-0)^2=(4/9)*Xa^2+(1/9)*Yb^2
│PB│^2＝(Xa/3-0)^2+(Yb/3-Yb)^2=(1/9)*Xa^2+(4/9)*Yb^2
│PC│^2＝(Xa/3-0)^2+(Yb/3-0)^2=(1/9)*Xa^2+(1/9)*Yb^2
于是结论显而易见,即
│PA│^2+│PB│^2=5│PC│^2
【】是怎么来的?为什么P是重心?

答案

答：|Xa/3|是△PBC的高；|Yb/3|是△PAB的高.
△PAB是直角三角形,S△PAB=(1/2)|Xa|*|Xb|
由S△PAB＝S△PBC=S△PCA＝S△ABC/3,知,
【P点坐标为(Xa/3,Yb/3)】