如图,过抛物线y^2=4x的焦点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点A,B,求|AB|+|CD|的最小值

题目

如图,过抛物线y^2=4x的焦点作两条互相垂直的直线分别交抛物线于点A,B,求|AB|+|CD|的最小值

答案

分析：考虑到过抛物线y²=4x的焦点F引两条互相垂直的直线AB、CD,利用抛物线的极坐标方程解决．先以F为极点,FX为极轴,建立极坐标系,写出抛物线的极坐标方程,利用极径表示出|AB|+|CD|,利用三角函数求解即得；
解
F为极点,FX为极轴,建立极坐标系,
则抛物线的极坐标方程可写为ρ=2/(1-cosθ)
设A(ρ1,θ),则B(ρ2,π+θ)
|AB|=ρ1+ρ2=2/(1-cosθ)+2/(1-cos(π+θ))=4/sin²θ
同理
|CD|=4/sin²(π+θ)=4/cos²θ
|AB|+|CD|=4/sin²θ+4/cos²θ=16/sin²(2θ)
故当θ=π/4时,|AB|+|CD|取最小值16,此时AB、CD的倾斜角分别为π/4 3π/4