是否存在实数a,使得函数y=sin²x+acosx+5a/8-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1,
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是否存在实数a,使得函数y=sin²x+acosx+5a/8-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1,
题目
是否存在实数a,使得函数y=sin²x+acosx+5a/8-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1,
答案
y=1-(cosx)^2+acosx+5a/8-3/2
令cosx=t得y=-(t-a/2)^2+a^2/4+5a/8-1/2
二次函数开口向下
当a≤0时,函数在定义域上单调递减,故5a/8-1/2=1,a=12/5(舍)
当0
当a≥2时,函数在定义域上单调递增13a/8-3/2=20/13(舍)
综上所述,存在实数a=3/2使得
函数y=sin²x+acosx+5a/8-3/2在闭区间[0,π/2]上的最大值是1,
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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