函数y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,则a的取值范围是_.

函数y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,则a的取值范围是_.

题目
函数y=1+2x+4xa在x∈(-∞,1]上y>0恒成立,则a的取值范围是______.
答案
由题意,得1+2x+4xa>0在x∈(-∞,1]上恒成立,
∴a>-
1+2x
4x
在x∈(-∞,1]上恒成立.
又∵t=-
1+2x
4x
=-(
1
2
2x-(
1
2
x=-[(
1
2
x+
1
2
]2+
1
4

当x∈(-∞,1]时t的值域为(-∞,-
3
4
],
∴a>-
3
4

即a的取值范围是(-
3
4
,+∞);
故答案为:(-
3
4
,+∞).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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