如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE是∠DAB的平分线.
题目
如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,点E是BC的中点,DE平分∠ADC.求证:AE是∠DAB的平分线.
答案
过点E作EH⊥AB于点H,反向延长EH交DC的延长线于点G,过点E作EF⊥AD于点F,
∵AB∥CD,EH⊥AB,
∴EG⊥DC,
∵点E是BC的中点,
∴CE=BE,
在△CGE与△BHE中,
,
∴△CGE≌△BHE,
∴GE=EH,
∵DE平分∠ADC,
∴GE=EF,
∴GE=EH,
∴EF=EH,
∴AE是∠DAB的平分线.
先过点E作EH⊥AB于点H,反向延长EH交DC的延长线于点G,过点E作EF⊥AD于点F,由平行线的性质可知EG⊥AC,由于E是BC的中点,可得出Rt△CGE≌Rt△BHE,故GE=EH,再根据角平分线的性质可知EF=GE,故EF=EH,进而可得出结论.
角平分线的性质;全等三角形的判定与性质.
本题考查的是角平分线的性质及全等三角形的判定与性质,根据题意做出辅助线,构造出全等三角形是解答此题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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