已知P（1，2）为圆x2+y2=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为_．

题目

已知P（1，2）为圆x²+y²=9内一定点，过P作两条互相垂直的任意弦交圆于点B、C，则BC中点M的轨迹方程为______．

答案

设M（x，y），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y=2y，且x₁²+y₁²=9，x₂²+y₂²=9，
所以（x₁+x₂）²=x₁²+x₂²+2x₁x₂，（y₁+y₂）²=y₁²+y₂²+2y₁y₂，
上两式相加，得（2x）²+（2y）²=9+9+2x₁x₂+2y₁y₂，所以x₁x₂+y₁y₂=2x²+2y²-9
又PB⊥PC，所以

y2−2

x2−1

•

y1−2

x1−1

＝−1，
得到x₁x₂+y₁y₂-2（y₁+y₂）-（x₁+x₂）+5=0，
代入得2x²+2y²-9-4y-2x+5=0，
所以M轨迹方程为x²+y²-x-2y-2=0．