求1-（x-1)+(x-1)^2-(x-3)^3+(x-4)^4+.+(x-1)^20的展开式中x^3项的系数

题目

求1-（x-1)+(x-1)^2-(x-3)^3+(x-4)^4+.+(x-1)^20的展开式中x^3项的系数
答案是-5985

答案

这是一个首项为1,公比为1－x的等比数列,其和为[1－(1－x)^2]/x
考虑(1－x)^2第四项为C(21,4)x^4,于是分子中含x^4的项是－C(21,4)x^4,从而原式中含x^3的项是－C(21,4)x^3,即x^3的系数是－C(21,4)＝－5985