已知数列{an}中，a1＝1/2，且前n项和为Sn满足Sn＝n2an，(n∈N*)． （1）求a2，a3，a4的值，并归纳出an的通项公式； （2）由（1）问结论，用反证法证明不等式：an＞an+1．

题目

已知数列{a_n}中，a

答案

（1）由Sn＝n2an，a1＝

1

2

得：
当n=2时，S₂=4a₂，即a₁+a₂=4a₂，∴a2＝

1

6

．
当n=3时，S₃=9a₃，即a₁+a₂+a₃=9a₃，a3＝

1

12

．
当n=4时，S₄=16a₄，即a₁+a₂+a₃+a₄=16a₄，a4＝

1

20

．
归纳出：an＝

1

n(n+1)

(n∈N*)．
（2）假设a_n≤a_n+1，则有

1

n(n+1)

≤

1

(n+1)(n+2)

，即

1

n

≤

1

n+2

，
由此解得 n+2≤n，即2≤0，矛盾．
∴假设不成立，故 a_n＞a_n+1成立，不等式得证．