讨论函数y=x+a/x(a不等于0)的定义域、值域、单调性、奇偶性,并做出简图

题目

讨论函数y=x+a/x(a不等于0)的定义域、值域、单调性、奇偶性,并做出简图
要讨论a是大于0还是小于0
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答案

∵函数y=f(x)=x+a/x(a不等于0)
∴它的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞)
∵f(-x)=-x-a/x=-(x+a/x)=f(x)
∴函数y=f(x)=x+a/x(a不等于0)是奇函数
∵a≠0
∴要分两种情况来求
(1)当axy=x²+a
==>x²-xy+a=0
又a0
故函数y的值域是(-∞,+∞)
∵y′=(x²-a)/x²>0
∴原函数在区间(-∞,0)∪(0,+∞)上单调递增
(2)当a>0时,同理可得x²-xy+a=0
∵此方程有实数解,且a>0
∴△=y²-4a≥0 ==>(y+2√a)(y-2√a)≥0
==>y≤-2√a,或y≥2√a
故原函数的值域是(-∞,-2√a][2√a,+∞)
∵令y′=(x²-a)/x²=0
∴x=√a,或x=-√a
∵当x∈(-∞,-√a)∪(√a,+∞)时,y′=(x²-a)/x²>0
当x∈(-√a,0)∪(0,√a)时,y′=(x²-a)/x²