求满足2p2+p+8=m2-2m的所有素数p和正整数m．

题目

求满足2p²+p+8=m²-2m的所有素数p和正整数m．

答案

由题设得p（2p+1）=（m-4）（m+2），
由于p是素数，故p是（m-4）的因数，或p是（m+2）的因数．（5分）
（1）若p整除（m-4），令m-4=kp，k是正整数，于是m+2＞kp，3p²＞p（2p+1）=（m-4）（m+2）＞k²p²，故k²＜3，从而k=1，
所以

m−4＝p m+2＝2p+1

解得

p＝5 m＝9.

（10分）
（2）若p整除（m+2），令m+2=kp，k是正整数．
当p＞5时，有m-4=kp-6＞kp-p=p（k-1），3p²＞p（2p+1）=（m-4）（m+2）＞k（k-1）p²，
故k（k-1）＜3，从而k=1，或2，
由于p（2p+1）=（m-4）（m+2）是奇数，所以k≠2，从而k=1，
于是

m−4＝2p+1 m+2＝p

，
这不可能．当p=5时，m²-2m=63，m=9；当p=3，m²-2m=29，无正整数解；
当p=2时，m²-2m=18，无正整数解．
综上所述，所求素数p=5，正整数m=9．（20分）

首先原方程可变形为p（2p+1）=（m-4）（m+2），再根据素数p和正整数m分别列式求解即可．

本题考点：二元一次方程组的应用．

考点点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组，再求解．本题还涉及到数的整除，完全平方公式等知识点，难度比较大．