波函数乘以一个复数描写的粒子状态改变了么

题目

波函数乘以一个复数描写的粒子状态改变了么
量子力学中,波函数乘以一个复常数（非实常数）,所描写的粒子状态是否改变?若乘以e的a（实常数）次方呢?是否改变?刚接触波函数,不是很懂,

答案

不会改变,
任何复数都可以写成极坐标的形式 k=Aexp(iθ),A代表复数的模；θ是复数的相位,但A和θ本身是实数.如果θ=π的整数倍,其实k就是实数.
波函数乘以复数k后变为新的波函数： Ψ → Ψ‘= kΨ=A exp(iθ) Ψ
波函数本身不是物理量,也没有办法用实验完全确定,波函数的模方才有物理意义（归一化后的就是概率密度）
变换后的波函数模的平方就是： |Ψ‘|^2=Ψ‘* ×Ψ‘=A exp(-iθ) Ψ* ×A exp(iθ) Ψ=A^2× |Ψ|^2
其实相位就被消去.
归一化后,实数A^2被消去,所以变换前后描述的都是同一个物理状态.
实际上,乘以复数和乘以实数的唯一区别就是exp(iθ),而exp(iθ)正具有平面波的形式,一个波函数乘以exp(iθ)相当于让波函数的复相位变化了θ,但是波函数的 复相位 对波的空间分布是没有影响的（是复相位）,相位是无法探测的非物理量,所以乘以复数也不会改变物理状态.