已知:如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F、G.求证:AE=FG.
题目
已知:如图,E是正方形ABCD的对角线BD上一点,EF⊥BC,EG⊥CD,垂足分别是F、G.求证:AE=FG.
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答案
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证明:连接EC.
∵四边形ABCD是正方形,EF⊥BC,EG⊥CD,
∴∠GCF=∠CFE=∠CGE=90°,
∴四边形EFCG为矩形.
∴FG=CE.
又BD为正方形ABCD的对角线,
∴∠ABE=∠CBE.
在△ABE和△CBE中,
,
∴△ABE≌△CBE(SAS).
∴AE=EC.
∴AE=FG.
根据题意我们不难得出四边形GEFC是个矩形,因此它的对角线相等.如果连接EC,那么EC=FG,要证明AE=FG,只要证明EC=AE即可.证明AE=EC就要通过全等三角形来实现.三角形ABE和BEC中,有∠ABD=∠CBD,有AB=BC,有一组公共边BE,因此构成了全等三角形判定中的SAS,因此两三角形全等,得AE=EC,即AE=GF.
正方形的性质;全等三角形的判定与性质;矩形的性质.
本题考查了全等三角形的判定,正方形和矩形的性质等知识点,通过构建全等三角形来证明简单的线段相等是解此类题的常用方法.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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