A,B是直线MN外的两点,且A,B到MN的距离不相等,试在MN上找一点P,使|PA-PB|最大.

题目

A,B是直线MN外的两点,且A,B到MN的距离不相等,试在MN上找一点P,使|PA-PB|最大.

答案

1° 若A、B在MN同侧

    1.1° A到MN的距离大于B到MN的距离

           联结AB并延长,交MN于P,则P点即为所求

    1.2° A到MN的距离小于B到MN的距离(如图中括号中的字母所示)

           联结BA并延长,交MN于P,则P点即为所求

2° 若A、B在MN异侧(如图中B'或(B')所示)

    则作B'关于MN的对称点B,情况转化为上一种情况

简单说明一下(由于A、B异侧可转化为A、B同侧,所以以A、B同侧为例)：

1° 即A到MN的距离大于B到MN的距离

    在MN上任取异于P的一点P',联结P'A、P'B

    由三角形两边之差小于第三边,在△ABP'中,有|P'A-P'B|<AB=|PA-PB|

    即所作的P能使|PA-PB|最大

2° 即A到MN的距离小于B到MN的距离

    在MN上任取异于P的一点P',联结P'A、P'B

    由三角形两边之差小于第三边,在△ABP'中,有|P'A-P'B|<AB=|PB-PA|=|PA-PB|

    即所作的P能使|PA-PB|最大

所以P点即为所求