设数列{an}满足当n>1时,an=an−11+4an−1,且a1=1/5. (1)求证:数列{1/an}为等差数列; (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项.如果是,是第几项;如果不是,说明理由
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设数列{an}满足当n>1时,an=an−11+4an−1,且a1=1/5. (1)求证:数列{1/an}为等差数列; (2)试问a1a2是否是数列{an}中的项.如果是,是第几项;如果不是,说明理由
题目
设数列{a
n
}满足当n>1时,
a
答案
(1)根据题意
a
1
=
1
5
及递推关系有a
n
≠0,因为
a
n
=
a
n−1
1+4
a
n−1
,
取倒数得:
1
a
n
=
1
a
n−1
+4
,即
1
a
n
−
1
a
n−1
=4(n>1)
所以数列
{
1
a
n
}
是首项为5,公差为4的等差数列.
(2)由(1)得:
1
a
n
=5+4(n−1)=4n+1
,
a
n
=
1
4n+1
又
a
1
a
2
=
1
5
×
1
9
=
1
45
=
1
4n+1
⇒n=11
.
所以a
1
a
2
是数列{a
n
}中的项,是第11项.
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