定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移,求AB中点到y轴距离的最小值,并求出此

题目

定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移,求AB中点到y轴距离的最小值,并求出此
定长为3的线段AB的端点A,B在抛物线y2=x上移，求AB中点到y轴距离的最小值，并求出此时AB中点M的坐标。

答案

首先,设中点M的坐标为：(m,n)
设AB的长度为l：
那么：
A点的坐标就是：(m+lcosθ/2,n+lsinθ/2)
B点的坐标就是：(m-lcosθ/2,n-lsinθ/2)
又：AB长度l=3
故：
A点的坐标就是：(m+3cosθ/2,n+3sinθ/2)
B点的坐标就是：(m-3cosθ/2,n-3sinθ/2)
这里：θ∈(－∞,0)∪(0,＋∞) (注：θ不可能为0,因为无论AB如何摆放都不可能完全水平.)
将A、B的坐标代入抛物线方程：y²=x,可得：
(n+3sinθ/2)²=m+3cosθ/2……①式
(n-3sinθ/2)²=m-3cosθ/2……②式
①、②相加,得到：
4n²+9sin²θ=4m……③
①、②相减,得到：
2nsinθ=cosθ ……④
而M到y轴距离就是M的横坐标m (注：由③式可知：m＞0)
由③、④可以推出：
m=(4n²+9sin²θ)/4=[(cosθ/sinθ)²+9sin²θ]/4
=(9sin²θ+1/sin²θ-1)/4
=(9sin²θ+1/sin²θ)4-1/4
根据不等式性质：
9sin²θ+1/sin²θ≥2√(9sin²θ*1/sin²θ)=6
并且当9sin²θ=1/sin²θ,即：sin²θ=1/3时,9sin²θ+1/sin²θ取得最小值6
∴当sin²θ=1/3时,m取得最小值：
m=(9sin²θ+1/sin²θ)4-1/4=6/4-1/4=5/4
此时：cos²θ=1-sin²θ=2/3
∴cotθ=±√(cos²θ/sin²θ)=±√2
∴由④式：n=cotθ/2=±√2/2
此时M点坐标为：(5/4,√2/2)或：(5/4,－√2/2)
而M到y轴的最小距离,即m的最小值为：m=5/4
手工计算,错了轻拍~