已知单位向量OA和OB的夹角为90°,点C在以O为圆心的圆弧AB(含端点)上运动,若OC=xOA+yOB(x,y∈R),则xy的取值范围是_.
题目
已知单位向量
和
的夹角为90°,点C在以O为圆心的圆弧AB(含端点)上运动,若
=x+y(x,y∈R),则xy的取值范围是______.
答案
由
=x+y(x,y∈R),向量
和
的夹角为90°,且|
|=|
|=|
|=1,平方可得
1=x
2+y
2≥2xy,得xy≤
,而点C在以O为圆心的圆弧AB上变动,得x,y∈[0,1],
于是,0≤xy≤
,
故答案为[0,
].
由
=x+y(x,y∈R),且向量的模都是1,且
•=0,平方可得1=x
2+y
2≥2xy,再由x,y∈[0,1],可得xy的范围.
平面向量数量积的运算.
本题考查两个向量的数量积的定义以及基本不等式的应用,体现了数形结合的数学思想,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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