利用函数的单调性定义证明函f(x)=x/x−1,x∈[2,4]是单调递减函数,并求函数的值域.
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利用函数的单调性定义证明函f(x)=x/x−1,x∈[2,4]是单调递减函数,并求函数的值域.
题目
利用函数的单调性定义证明函
f(x)=
x
x−1
答案
证明:在[2,4]上任x
1
,x
2
.x
1
<x
2
,f(x
1
)=
x
1
x
1
−1
,f(x
2
)=
x
2
x
2
−1
∴
f(
x
1
)−f(
x
2
)=
x
1
x
1
−1
−
x
2
x
2
−1
=
x
2
−
x
1
(
x
1
−1)(
x
2
−1)
∵2≤x
1
<x
2
≤4,∴x
2
-x
1
>0,x
1
-1>0,x
2
-1>0
∴f(x
1
)-f(x
2
)>0,
∴f(x
1
)>f(x
2
),∴f(x)是在[2,4]上的减函数
当x=2时函数取最大值2,当x=4时函数取最小值
4
3
因此,函数的值域
[
4
3
,2]
.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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