某小区欲建一面积为a平方米的矩形绿地,四周有小路,绿地长边外小路宽5m,短边外小路宽8m,绿地长边至多长28m,至少长20m,对于给定的a(300《a《700),怎样设计绿地的长、宽是绿地和小路占地面

题目

某小区欲建一面积为a平方米的矩形绿地,四周有小路,绿地长边外小路宽5m,短边外小路宽8m,绿地长边至多长28m,至少长20m,对于给定的a(300《a《700),怎样设计绿地的长、宽是绿地和小路占地面积最小?

答案

设绿地长为n,则宽为a/n,小路占地面积为S．
由题意可得出S＝（16+n）*5*2+(a/n)*8*2
其中（16+n）*5*2 为两条长边小路的面积
(a/n)*8*2 为两条短边小路的面积
S＝160 + 10n + 16(a/n)
由定理a + b ≤2√ab (当且仅当a=b时等号成立)
所以S＝160 + 10n + 16(a/n) ≤160 + √10n*16(a/n)
由定义可知道当10n ＝16(a/n)时等式成立即n=√8a/5
所以宽为√5a/8