已知⊙O的半径为10,弦AB的长为103,点C在⊙O上,且C点到弦AB所在的直线的距离为5,则以O,A,B,C为顶点的四边形的面积是 _ .

已知⊙O的半径为10,弦AB的长为103,点C在⊙O上,且C点到弦AB所在的直线的距离为5,则以O,A,B,C为顶点的四边形的面积是 _ .

题目
已知⊙O的半径为10,弦AB的长为10
3
,点C在⊙O上,且C点到弦AB所在的直线的距离为5,则以O,A,B,C为顶点的四边形的面积是 ___ .
答案
作业帮 如图,连接OA、OB,过O作垂直于AB的半径OE,交AB于D;
Rt△OAD中,AD=
1
2
AB=5
3
,OA=10;
故∠AOD=60°,OD=5;
①易知DE=OE-OD=5;所以E点符合C点的要求;
此时四边形OAEB的对角线AB、OE互相垂直平分,故四边形OAEB是菱形;
∴S菱形OAEB=
1
2
AB•OE=50
3

②过O作平行于AB的直径,交⊙O于M、N,则M、N到AB的距离均为OD=5;
所以M、N也符合C点的要求;
∴S梯形OMAB=S梯形ONBA=
1
2
(OM+AB)×OD=25+25
3

故以O,A,B,C为顶点的四边形的面积是50
3
或25+25
3
过O作OD⊥AB于D,由垂径定理知AD=BD=5
3
,则∠AOD=60°,OD=5;
①若延长OD交⊙O于E,则DE=5,此时E点符合C点的要求,且四边形OACB为菱形,根据菱形的面积为对角线乘积的一半即可求得其面积;
②过O作AB的平行线,交⊙O于M、N,由于O到AB的矩形为5,所以M、N均符合C点的要求;此时四边形OCAB为梯形,且上底为10,下底为10
3
,高为5,根据梯形的面积公式即可求得其面积.

垂径定理;勾股定理.

此题主要考查了垂径定理及解直角三角形的应用;计算过程并不复杂,难点在于能够将所有的情况都考虑到.

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