已知数列{an}满足a1=3，an+1−3an＝3n(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝an3n． （1）证明数列{bn}是等差数列并求数列{bn}的通项公式； （2）求数列{an}的前n项和Sn．

题目

已知数列{a_n}满足a₁=3，a

答案

解（1）证明：由bn＝

an

3n

，得bn+1＝

an+1

3n+1

，
∴bn+1−bn＝

an+1

3n+1

−

an

3n

＝

1

3

---------------------（2分）
所以数列{b_n}是等差数列，首项b₁=1，公差为

1

3

-----------（4分）
∴bn＝1+

1

3

(n−1)＝

n+2

3

------------------------（6分）
（2）an＝3nbn＝(n+2)×3n−1-------------------------（7分）
∴S_n=a₁+a₂+…+a_n=3×1+4×3+…+（n+2）×3^n-1----①
∴3Sn＝3×3+4×32+…+(n+2)×3n-------------------②（9分）
①-②得−2Sn＝3×1+3+32+…+3n−1−(n+2)×3n
=2+1+3+3²+…+3^n-1-（n+2）×3ⁿ=

3n+3

2

−(n+2)×3n------（11分）
∴Sn＝−

3n+3

4

+

(n+2)3n

2

-----------------（12分）