证明∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx

题目

证明∫(-a,a)f(x)dx=∫(0,a)[f(x)+f(-x)]dx

答案

左边=∫[-a→a] f(x) dx
=∫[-a→0] f(x) dx + ∫[0→a] f(x) dx
前一个积分换元,令x=-u,则dx=-du,u：a→0
=∫[a→0] f(-u) d(-u) + ∫[0→a] f(x) dx
=∫[0→a] f(-u) du + ∫[0→a] f(x) dx
将u换回x
=∫[0→a] f(-x) dx + ∫[0→a] f(x) dx
=右边
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