已知abc=1,证明(a/ab+a+1)+(b/bc+b+1)+(c/ca+c+1)=1

题目

已知abc=1,证明(a/ab+a+1)+(b/bc+b+1)+(c/ca+c+1)=1
a>0,b>0,c>0

答案

证明：
因abc=1,故而A B C都不等于0.
AB+A+1=AB+A+ABC=A(B+1+BC)
A/AB+A+1=1/B+1+BC
所以(A/AB+A+1)+(B/BC+B+1)=(1/B+1+BC)+(B/BC+B+1)=(1+B)/(B+1+BC)
因BC+B+1=BC+B+ABC=B(C+1+AC)
所以(1+B)/(B+1+BC)=(1+B)/B(C+1+AC)
(1+B)/B(C+1+AC)+C/(CA+C+1)=[(1+B)+BC]/B(C+1+AC)=(ABC+B+BC)/B(C+1+AC)=B(AC+C+1)/B(C+1+AC)=1