若x+2y+3z＝1，则x2+y2+z2的最小值为_．

题目

若x+2y+

3

z＝1，则x²+y²+z²的最小值为______．

答案

根据柯西不等式可得[(12+22+(

3

)2]（x²+y²+z²）≥(x+2y+

3

z)2
∵x+2y+

3

z＝1
∴x²+y²+z²≥

1

8

当且仅当x＝

y

2

＝

z

3

时，x²+y²+z²的最小值为

1

8

故答案为：

1

8

根据柯西不等式可得[(12+22+(

3

)2]（x²+y²+z²）≥(x+2y+

3

z)2，由此可得结论．

本题考点：柯西不等式在函数极值中的应用．

考点点评：柯西不等式的特点：一边是平方和的积，而另一边为积的和的平方，因此，当欲证不等式的一边视为“积和结构”或“平方和结构”，再结合不等式另一边的结构特点去尝试构造．一般而言，“积和结构”或“平方和结构”越明显，则构造越容易，而对于“积和结构”或“平方和结构”不够明显的问题，则须将原问题作适当变形，使“积和结构”或“平方和结构”明显化，从而利用柯西不等式进行证明．