在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E为AD中点,F为CC1中点.(1)求证AD垂直D1F(2)求证CE平行平面AD1...

题目

在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E为AD中点,F为CC1中点.(1)求证AD垂直D1F(2)求证CE平行平面AD1...
在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB=2,E为AD中点,F为CC1中点.(1)求证AD垂直D1F(2)求证CE平行平面AD1F(3)求平面AD1F与底面ABCD所成二面角的余弦值

答案

1、∵四边形ABCD是正方形,
∴AD⊥CD,
∵DD1⊥AD,
DD1∩CD=D,
∴AD⊥平面CC1D1D,
∵D1F∈平面CC1D1D,
∴AD⊥D1F.
2、取DD1中点G,连结EG、CG,
∵D1G//CF,
D1G=DD1/2,
CF=CC1/2,
DD1=CC1,
∴D1G=CF,
∴四边形CFD1G是平行四边形,（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）,
∴CG//D1F,
同理GE//AD1,
∵AD1∩D1F=D1,
EG∩CG=G,
∴平面EGC//平面AD1F,
∵CE∈平面EGC,
∴CE//平面AD1F.
3、由前所述平面EGC//平面AD1F,
故平面EGC和平面ABCD所成二面角就是AD1F与平面ABCD所成二面角,
在底面ABCD作DH⊥CE,垂足H,连结GH,
根据三垂线定理,DH⊥CE,
∴〈GHD就是二面角G-EC-D的平面角,
根据勾股定理,CE=√5/2,
DH*CE/2=DE*CD/2=S△DEC,
∴DH=（1*1/2）/（√5/2）=√5/5,
根据勾股定理,GH=√（DG^2+DH^2)=√（1+1/5）=√30/5,
cos∴平面AD1F与底面ABCD所成二面角的余弦值为√6/6.