双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上有一点P到他的两个焦点距离之差的绝对值为8,一条渐近线的倾斜角为

题目

双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)上有一点P到他的两个焦点距离之差的绝对值为8,一条渐近线的倾斜角为
倾斜角为arctan3/4,过P做一条渐近线的平行线交另一条渐近线于点M,求△OPM的面积S

答案

点P到他的两个焦点距离之差的绝对值为8
2a=8
a=4
渐近线倾斜角为arctan3/4
∴渐近线斜率=3/4
∵x²/a²-y²/b²=1(a>0,b>0)
渐近线为y=±b/ax
∴b/a=3/4
∴b=3
∴双曲线方程是x²/16-y²/9=1
设P坐标(x0,y0)
MP:y=-3/4(x-x0)+y0
与y=3/4x联立
M（2(x0/4+y0/3),3(x0/4+y0/3)/2)
P到OM距离=|3x0-4y0|/5
OPM的面积S=1/2*|3x0-4y0|/5*√（4(x0/4+y0/3)²+9(x0/4+y0/3)²/4)
=1/2*|3x0-4y0|/5*5/2*|x0/4+y0/3|
=1/4*|( 3x0-4y0)(x0/4+y0/3)|
=1/4*|3x0²/4-4y0²/3|
=1/4*12*|x0²/16-y0²/9|
=3*1
=3