向量a,向量b是两个不共线的非零向量,且|a|=|b|=1,且向量a与向量b夹角为120°.

题目

向量a,向量b是两个不共线的非零向量,且|a|=|b|=1,且向量a与向量b夹角为120°.
(1)记向量OA=向量a,向量OB=t向量b,向量OC=1/3(向量a+向量b),当实数t为何值时,∠ACB为钝角?
(2)令f(x)=|向量a-向量bsinx|,x属于[0,2π],求f(x)的值域及单调递减区间.

答案

(1)向量CA=OA-OC=a-(1/3)(a+b)=(2/3)a-(1/3)b,
CB=OB-OC=tb-(1/3)(a+b)=(-1/3)a+(t-1/3)b,
ab=-1/2,
∴向量CA*CB=(-2/9)a^2+(2t/3-1/9)ab+(1/9-t/3)b^2
=-2/9+1/18-t/3+1/9-t/3
=-2t/3-1/18-1/12时∠ACB为钝角.
（2）f(x)=|a-bsinx|,
[f(x)]^2=a^2-2absinx+b^2(sinx)^2=1+sinx+(sinx)^2=(sinx+1/2)^2+3/4,x∈[0,2π],
∴[f(x)]^2的值域是[3/4,3],
∴f(x)的值域是[√3/2,√3].