已知sinθ+cosθ=√2 /3,(0

题目

已知sinθ+cosθ=√2 /3,(0

答案

∵ sin θ + cos θ = √2 / 3
∴ （sin θ + cos θ）² = 2 / 9
sin ² θ + 2 sin θ cos θ + cos ² θ = 2 / 9
∵ sin ² θ + cos ² θ = 1
∴ 1 + 2 sin θ cos θ = 2 / 9
2 sin θ cos θ = - 7 / 9
sin θ cos θ = - 7 / 18

∴ sin θ cos θ / 1 = - 7 / 18
∴ sin θ cos θ / （sin ² θ + cos ² θ） = - 7 / 18
分子分母同除以 cos ² θ 得：
tan θ / （tan ² θ + 1）= - 7 / 18
tan θ = （- 7 / 18）（tan ² θ + 1）
两边除以 - 7 / 18 得：
（- 18 / 7）tan θ = tan ² θ + 1
tan ² θ + （18 / 7）tan θ + 1 = 0
tan ² θ + （18 / 7）tan θ + （9 / 7）² = - 1 + （9 / 7）²
（tan θ + 9 / 7）² = - 1 + 81 / 49
（tan θ + 9 / 7）² = 32 / 49
tan θ + 9 / 7 = ± 4√2 / 7
tan θ = ± 4√2 / 7 - 9 / 7

∴ tan θ = （4√2 - 9） / 7 或 （- 4√2 - 9）/ 7
∵ sin θ cos θ = - 7 / 18 < 0 ,0 < θ < π
∴ π / 2 < θ < π
∴ tan θ < 0
∴ tan θ = （- 4√2 - 9）/ 7