已知圆C:x^2+y^2+2x-4y+3=0.从圆外一点P（x,y）向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且┃PM┃=┃PO┃,求点P的轨迹方程

题目

已知圆C:x^2+y^2+2x-4y+3=0.从圆外一点P（x,y）向圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且┃PM┃=┃PO┃,求点P的轨迹方程

答案

圆C方程：（x+1）^2+(y-2)^2=2,所以圆心C（-1,2）,R^2=2
设P点的坐标为（x,y）
则｜PM｜^2=|PC|^2-R^2=（x+1）^2+(y-2)^2-R^2=x^2+y^2+2x-4y+3
|PO|^2=x^2+y^2
因为｜PM┃=┃PO┃,
所以x^2+y^2+2x-4y+3=x^2+y^2,得点P的轨迹方程：2x-4y+3=0
把轨迹方程代入,消去y,
得｜PM｜^2=（x+1）^2+(1/2x+3/4-2)^2-2
=5/4（x^2+3/5x)+9/16
=5/4(x+3/10)^2+9/20
所以当x=-3/10时,｜PM｜取得最小值
所以最小时的P点的坐标为（-3/10,3/5）