已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x)(a>0,且a≠1). (Ⅰ)求函数y=f(x)-g(x)的定义域; (Ⅱ)求使函数y=f(x)-g(x)的值为正数的x的取值范围.
题目
已知函数f(x)=loga(x+1),g(x)=loga(4-2x)(a>0,且a≠1).
(Ⅰ)求函数y=f(x)-g(x)的定义域;
(Ⅱ)求使函数y=f(x)-g(x)的值为正数的x的取值范围.
答案
(Ⅰ)由题意可得
,解得-1<x<2,可得函数F(x)的定义域是(-1,2).
(Ⅱ)F(x)=f(x)-g(x)=log
a(x+1)-log
a(4-2x)=log
a ,
当a>1时,由
,解得1<x<2,故x的取值范围是(1,2).
当0<a<1时,由
,解得-1<x<1,故x的取值范围是(-1,1).
(Ⅰ)由题意可得
,求得x的范围,可得函数F(x)的定义域.
(Ⅱ)化简F(x)的解析式为F(x)=log
a ,分a>1和0<a<1两种情况,分别利用对数函数的定义域和单调性求得x的取值范围.
对数函数的图像与性质;函数的定义域及其求法;对数的运算性质.
本题主要考查分式不等式、对数函数的定义域、对数不等式的解法,属于中档题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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