已知a,b都是正数,求证2/1/a+1/b小于等于根号ab小于等于a+b/2小于等于根号a2+b2/2

题目

已知a,b都是正数,求证2/1/a+1/b小于等于根号ab小于等于a+b/2小于等于根号a2+b2/2
人教版数学课本高二上习题6.2第三题（12页）

答案

其实该不等式是应该记住的公式,我们通常使用的基本不等式只是该式的一个部分.该式的文字表达为：调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数
该式的完整证明（从左证到右）：
调和与几何：
利用上式：1 / (1/a + 1/b) = ab/(a+b) = 0,即(a + b)^2 - 4ab >= 0
∴a + b >= √(4ab) = 2√(ab).
算术与平方：
∵(a^2 + b^2) / 2 - (a/2 + b/2)^2 = (a - b)^2 / 4 >= 0
∴√((a^2 + b^2) / 2) >= (a + b)/2